【入門】述語論理とは。命題論理との違いも解説【日本一わかりやすい】

基礎理論

2019.04.07

難しいことはいい、述語論理を簡単に把握したい
例題豊富に使ってわかりやすくして欲しい
命題論理との違いも知りたい

こんなあなたの悩みを解決するため、応用情報技術者の筆者が ‘例題豊富’ , ‘専門用語は全て説明’ することで、わかりやすく解説します。

命題論理とは
述語論理とは
1. 述語論理での記号化
まとめ

命題論理とは

述語論理が何かを理解するためには、まずは命題論理というものが何かを理解する必要があります。なぜなら、述語論理というのは、命題論理で表現できる範囲をより広げたものだからです。

では、命題論理について順に理解していきましょう。

そもそも命題って？

命題という言葉は、扱う分野によって定義が変わってきます。

高校数学では“正しいか正しくないかが明確に定まる文や式”のことを命題と言います。　

例えば、

「3は5より小さい」という文章があれば、これは明確に正しい。つまり真であると言えるので、命題と言えます。

「石原さとみは日本一かわいい」という文は明確に正しいとも間違いであるとも言えません。つまり、このような文章は命題とは言えません。

しかし、命題論理では、高校数学よりも緩く”真または偽のどちらかになる文” を命題とします。

すると、あなたにとっては「石原さとみは日本一かわいい」は偽といえるかもしれませんし、筆者にとっては「石原さとみは日本一かわいい」は真という風に、事実はどうであれ真であるとか、偽であるとかいえますよね。

つまり、命題論理では

「石原さとみは日本一かわいい」は命題です。

しかし、

「石原さとみは学問より小さい」という文は意味不明なので、真か偽の議論にすることができません。つまり、これは命題ではありません。

つまり、命題論理は、その文章の内容には興味はなく、その文章の真偽にのみ興味があるのです。

要素命題とは

要素命題を理解することは、述語論理を理解するのに必要な概念ですので、ここで説明します。

命題には、それ以上要素を分割することができない“要素命題”というものがあります。

例えば、

「石原さとみは日本人で女性である」という命題(文)があった場合、それは「石原さとみは日本人である」、「石原さとみは女性である」という2つの命題に分割することが可能です。

そして、これに接続詞を使い、「石原さとみは日本人である。そして、石原さとみは女性である」とすれば、元の文と同じ意味ですね。

しかし、「石原さとみは日本人である」という文章は、これ以上命題として分割することができません。このように、これ以上命題として分割することができない文章を、“要素命題”、もしくは “単純命題” と言います。

命題の記号化(文を式にする)

これまでの説明で命題とは何かということは理解できたと思いますが、これでは何の役に立つかわからないでしょう。役に立たせるためには記号化し、計算可能にする必要があります。そこで、この項では命題の記号化について説明します。

命題論理では、以下の5種類の論理記号が存在します。

例えば、

「石原さとみは人間である」を $A$ とし、

「石原さとみは男性である」を $B$ とします。

すると、「石原さとみは人間であり、男性ではない」という文章は

$A ∧ \overline{B}$ という風に、記号で表現することができるようになります。　さらに、真偽は0,1で表現します。今回の場合、$A ∧ \overline{B}$ の値は $1$ ですね。　すると、文章を演算(計算)することができるようになるのです。(何となく計算できるようになるんだなという理解で構いません)

そして、演算できるということは、コンピューターでの処理が可能ということです。これは、自然言語処理という分野で活用されています。

ここまで理解できれば、述語論理を理解するための下地が整ったことになります。　では、命題論理との違いに注意しながら、述語論理を理解していきましょう。