【入門】述語論理とは。命題論理との違いも解説【日本一わかりやすい】

基礎理論
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こんなあなたの悩みを解決するため、応用情報技術者の筆者が ‘例題豊富’ , ‘専門用語は全て説明’ することで、わかりやすく解説します。

命題論理とは

述語論理が何かを理解するためには、まずは命題論理というものが何かを理解する必要があります。なぜなら、述語論理というのは、命題論理で表現できる範囲をより広げたものだからです。

では、命題論理について順に理解していきましょう。

そもそも命題って?

命題という言葉は、扱う分野によって定義が変わってきます。

高校数学では“正しいか正しくないかが明確に定まる文や式”のことを命題と言います。 

例えば、

「3は5より小さい」という文章があれば、これは明確に正しい。つまり真であると言えるので、命題と言えます。
「石原さとみは日本一かわいい」という文は明確に正しいとも間違いであるとも言えません。つまり、このような文章は命題とは言えません。
 
しかし、命題論理では、高校数学よりも緩く”真または偽のどちらかになる文” 命題とします。
 
すると、あなたにとっては「石原さとみは日本一かわいい」は偽といえるかもしれませんし、筆者にとっては「石原さとみは日本一かわいい」は真という風に、事実はどうであれ真であるとか、偽であるとかいえますよね。
 
つまり、命題論理では
 
「石原さとみは日本一かわいい」は命題です。
 
しかし、
 
「石原さとみは学問より小さい」という文は意味不明なので、真か偽の議論にすることができません。つまり、これは命題ではありません。
 
つまり、命題論理は、その文章の内容には興味はなく、その文章の真偽にのみ興味があるのです。

要素命題とは

要素命題を理解することは、述語論理を理解するのに必要な概念ですので、ここで説明します。

命題には、それ以上要素を分割することができない“要素命題”というものがあります。

例えば、

「石原さとみは日本人で女性である」という命題(文)があった場合、それは「石原さとみは日本人である」、「石原さとみは女性である」という2つの命題に分割することが可能です。

そして、これに接続詞を使い、「石原さとみは日本人である。そして、石原さとみは女性である」とすれば、元の文と同じ意味ですね。

しかし、「石原さとみは日本人である」という文章は、これ以上命題として分割することができません。このように、これ以上命題として分割することができない文章を、“要素命題”、もしくは “単純命題” と言います。

命題の記号化(文を式にする)

これまでの説明で命題とは何かということは理解できたと思いますが、これでは何の役に立つかわからないでしょう。役に立たせるためには記号化し、計算可能にする必要があります。そこで、この項では命題の記号化について説明します。

命題論理では、以下の5種類の論理記号が存在します。

※呼び方や表記は場合によって異なります

例えば、

「石原さとみは人間である」を $A$ とし、

「石原さとみは男性である」を $B$ とします。

すると、「石原さとみは人間であり、男性ではない」という文章は

$A ∧ \overline{B}$ という風に、記号で表現することができるようになります。 さらに、真偽は0,1で表現します。今回の場合、$A ∧ \overline{B}$ の値は $1$ ですね。 すると、文章を演算(計算)することができるようになるのです。(何となく計算できるようになるんだなという理解で構いません)

そして、演算できるということは、コンピューターでの処理が可能ということです。これは、自然言語処理という分野で活用されています。

ここまで理解できれば、述語論理を理解するための下地が整ったことになります。 では、命題論理との違いに注意しながら、述語論理を理解していきましょう。

述語論理とは

述語論理とは、命題の中身まで見て推論の正しさを確かめていく学問です。そのため、述語論理は、“命題論理で表現できる範囲をより広げたもの”ということができます。

述語論理での記号化

さきほど、「述語論理とは、命題の中身まで見て推論の正しさを確かめていく学問」であると述べましたが、それがどういう意味なのかこの項では説明していきます。

命題論理では、真偽を議論することができる文章が最小の単位で、そのことを要素命題と呼んでいました。しかし、それでは表現できる範囲が狭く、限界が生じてしまいます。

たとえば、

(前提1) すべての男性は石原さとみが好きである。

(前提2) 筆者は男性である。

(結論)   筆者は石原さとみが好きである。

これは、推論として明らかに正しいです。しかし、命題論理では、今回の前提と結論を1つの記号でしかあらわすことができません。

(前提1) すべての男性は石原さとみが好きである。= $A$

(前提2) 筆者は男性である。 = $B$

(結論)   筆者は石原さとみが好きである。= $C$

という具合です。そして、無理やり式にすれば

A  B  ∴ C  となりますが、これでは意味がわかりません。 そこで、記号をさらに追加し、命題の中身まで記述できるようにします。

述語論理で追加する記号

このようにすれば、

(前提1) すべての男性は石原さとみが好きである。
= $∀x( man( x )→loves( x, Ishihara Satomi ) )$

(前提2) 筆者は男性である。
= $man( author )$

この2式から、

(結論)   筆者は石原さとみが好きである。
= $loves( author, Ishihara Satomi )$

という式が正しいことを証明できます。(なんとなく、文章をより詳しく式にできていることがわかればOKです)

先ほどの命題論理では証明できなかったことが、述語論理でより詳しく式を記述できたことで証明できましたね。

 

まとめ

命題論理:文章に存在する命題間の論理的関係を端的に表し、計算可能にしたもの

述語論理:命題の中身までも記号で表現可能にすることで、命題論理を拡張したもの

ちなみに、述語論理自然言語処理に利用されるほか、prologというプログラミング言語にも利用されています。

 

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