【ブール代数】論理式の全記号と公式【読み方,例,解説付き】

基礎理論
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・論理式ってどんな記号があるの?

・記号の読み方は?

・公式ってどういうのがある?

 

こういった疑問に答えるため、応用情報技術者の筆者が分かりやすく解説し、見やすくまとめていきます。

 

論理式で使用される記号

論理式で使用される記号の一覧は以下の通りです。

読み方表記意味
否定 $\lnot p_{1}$  ,  $\overline{ p_{1} }$ $p_1$ でない
論理積$ p_1 \land p_2 $ , $ p_1 \cdot p_2 $$p_1$ かつ $p_2$
論理和$ p_1 \lor p_2 $ , $ p_1 + p_2 $ $p_1$ または $p_2$
含意$ p_1 \to p_2$ , $ p_1 \Rightarrow p_2 $ , $ p_1 \models p_2 $ $p_1$ ならば $p_2$ である
同値$ p_1 \equiv p_2 $ , $ p_1 \Leftrightarrow p_2 $ $p_1$ の場合かつこの場合に限り $p_2$ である
排他的論理和$ p_1 \veebar p_2$ , $ p_1 \oplus p_2 $ $p_1$ , $p_2$ のいずれかが真
全称限量子 $\forall p_1$任意の $p_1$
存在限量子 $\exists p_1$ ある $p_1$ が存在する
トートロジー$T$真 , 正しい
矛盾$F$偽 , 正しくない

論理記号の全体像を把握したところで、次の項からは個別の真理値表と、意味を解説していきます。

否定(NOT)の真理値表

否定真理値表

名前の通り否定です。元の命題と逆の値になります。

論理積(AND)の真理値表

論理積真理値表

論理積は ‘かつ’ を意味する記号です。どちらも真の場合にのみ、真になります。

論理和(OR)の真理値表

論理和真理値表

論理和は ‘または’ を意味する記号です。2命題のどちらかが真の場合には、真になります。

含意の真理値表

含意真理値表

含意は ‘ならば’ を意味する記号です。見てわかる通り、最も注意しなければいけない記号でもあります。かなり覚えにくいです。そこで、例を出して説明します。

ある人が「波瑠と結婚できなかったら死んでやる」と言ったとします。このセリフが嘘になるのは、「波瑠と結婚できなかったのに死ななかった」時だけです。「波瑠と結婚できた反動で嬉しすぎて死んだ」場合や「波瑠と結婚できて幸せに生きている」場合も嘘にはならないですよね。そういうことです。

同値の真理値表

同値は、2命題が同じ値をとるときに真になります。

排他的論理和(XOR)の真理値表

排他的論理和は ‘いずれか’ を意味する記号です。2命題のいずれか片方のみが真の場合にのみ、真になります。

論理式における公式

交換則 $A+B=B+A$
$A \cdot B = B \cdot A $
結合則 $A+(B+C)=(A+B)+C$
$A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$
分配則 $A(B+C)=AB+AC$
恒等則 $A + 1 = 1$
$A \cdot 1 = A$
$A + 0 = A$
$A \cdot 0 = 0$
同一則 $A \cdot A = A$
$A + A = A$
補元則 $A \cdot \overline{A} = 0$
$A + \overline{A} = 1$
吸収則 $A+A \cdot B = A$
$A\cdot (A + B) = A$
ド・モルガンの法則 $\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$
$\overline{A\cdot B}=\overline{A}+ \overline{B}$

上3つは高校までの数学と同じですね。問題はその下です。中でも、吸収則ド・モルガンの法則は特に注意して確認しておいてください。

公式ではないが、覚えておくとよいもの

以下の式変形は、公式ではありませんが覚えておくと役に立ちます。

基本パターン1 $AB+A\overline{B}=A$
基本パターン2 $A(\overline{A}+B)=AB$
$A+\overline{A}B=A+B$
基本パターン3 $AB + \overline{A}C  + BC = AB +\overline{A}C$
$(A+B)(\overline{A}+C)(B+C)=(A+B)(\overline{A}+C)$

 

上記式の証明や、論理式簡単化の練習問題は

 

【ブール代数】論理式の簡単化(解き方)のコツ【練習問題付き】
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こちらを確認してみてください。

 

まとめ

論理式の公式は多い

 

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コメント

  1. より:

    補元則はA+A¯=AではなくA+A¯=1だと思います。

    • 運営者 運営者 より:

      確認遅くなってしまい申し訳ございません。
      誤っておりましたので、修正させていただきました。
      ご連絡ありがとうございます!

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