【入門】ブール代数まとめ【スッキリ見やすい】

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・ブール代数を全体的にサクッと教えてや

・なんか、wikipediaみたいな固いのとか見にくいのは嫌なんや

・例豊富に頼むぞ?

 

今回の記事では、このようなペンギンでも満足できるように、ブール代数全体を「サクッと」「見やすく」「例豊富」にまとめました。この記事では全体的にサクッとしか触れていませんので、深堀したい箇所は、随所にある参考記事をご覧ください。

それでは、見ていきましょう!

 

ブール代数の基礎

 

ブール代数とは

ブール代数とは、イギリスの数学者 “ブール” が自身の著書「思考の法則に関する研究」の中で提唱した記号論理学のことです。

ブール代数の中では、’1’ と ‘0’ の二値しか存在せず、‘1’ と ‘0’ はそれぞれ「真」「偽」を意味します。ブール代数は、この2値の演算を行う学問です。

他の呼び方として

  • 2値代数
  • 2値論理数学
  • ディジタル代数
  • スイッチング代数

などと呼ばれることがあります。

 

 

命題って?

ブール代数は2値を扱う学問ですが、文章を命題という形にして組み合わせると、文章の演算が可能になります。

命題 とは、”真または偽のどちらかになる文” のことを言います。

例えば、「石原さとみは可愛い」などが命題に当たります。この命題は「真である」とか「偽である」とか言えますよね。「石原さとみは可愛い」を命題 $A$ としたとき、私にとってこれは真になるので、$A=1$ になります。また、無いとは思いますが、人によれば 「石原さとみは可愛いくない」場合、$A=0$  で偽になります。

 

 

ブール代数の記号

ブール代数で使われる主な記号は以下の通りです。場合によって記号の表記が異なるので、表記は複数紹介しています。

読み方表記意味
否定 $\lnot p_{1}$  ,  $\overline{ p_{1} }$ $p_1$ でない
論理積$ p_1 \land p_2 $ , $ p_1 \cdot p_2 $$p_1$ かつ $p_2$
論理和$ p_1 \lor p_2 $ , $ p_1 + p_2 $ $p_1$ または $p_2$
トートロジー$T$真 , 正しい
矛盾$F$偽 , 正しくない

 

 

ブール代数の公式

ブール代数には8つの法則があり、公式の数は18個あります。

表形式で表せば、下記の通りです。

 

交換則 $A+B=B+A$
$A \cdot B = B \cdot A $
結合則 $A+(B+C)=(A+B)+C$
$A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$
分配則 $A(B+C)=AB+AC$
$A+BC=(A+B)(A+C)$
恒等則 $A + 1 = 1$
$A \cdot 1 = A$
$A + 0 = A$
$A \cdot 0 = 0$
同一則 $A \cdot A = A$
$A + A = A$
補元則 $A \cdot \overline{A} = 0$
$A + \overline{A} = 1$
吸収則 $A+A \cdot B = A$
$A\cdot (A + B) = A$
ド・モルガンの法則 $\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$
$\overline{A\cdot B}=\overline{A}+ \overline{B}$

 

かなり多いですね…。実は、双対定理を知っていれば、覚える数は半分でよくなります。そのため、次項で双対定理も理解しておきましょう。

 

ブール代数の公式を覚える量は半分で良い!?双対定理について

元の式に対して

を行った論理式のことを双対論理式と言います。

式 $X$ があれば、この双対論理式は $X^d$ と表します。

 

$(x+y)\cdot z$の双対論理式は、$$ になります。

 

ここからが本題なのですが、$X=Y$ が成り立つとき、$X^d = Y^d$ が成り立ちます。

そして、公式の数は偶数ありますが、これは、公式には必ず双対論理式で対になっている式があるためです。

例えば、

交換則
$A+B=B+A$
$A \cdot B = B \cdot A $

これも双対論理式になっているのが分かるでしょうか。

元の式に対して

を行っていますよね。これで、公式を覚える量は半分で済みます。

 

 

ブール代数の計算

ブール代数の基本的なことはわかったと思います。では、いよいよ計算について確認していきましょう。基本的な計算方法は、ブール代数で1+1って何なの?【専門用語0でわかりやすい】をご覧ください。

 

ブール代数の解き方のコツ

ブール代数を解けるようになるには、基本的には慣れるしかありません。しかし、公式以外に頻出の基本変形を知っていれば、解くのが楽になりますので紹介しておきます。

その基本変形式は以下の通りです。

論理式変形基本パターン

公式に加えて覚えておくといいでしょう。

 

この基本変形式の証明や練習問題は下記の記事からどうぞ。

 

ブール代数の計算問題

比較的簡単なブール代数の練習問題をご用意しましたので、練習として解いてみましょう!

 

$Q1$ : $\overline{\overline{AA}\cdot \overline{BB}}$ を簡単にしてください。

 

$A1$ : $\overline{\overline{AA}\cdot \overline{BB}}$

    $  =\overline{\overline{A}\cdot\overline{B}}$ (同一則)

    $  =\overline{\overline{A}}+ \overline{\overline{B}}$  (ド・モルガン)

    $  =A+B$  (二重否定)

 

$Q2$ : $(A+B)(A+\overline{B})$ が $A$ になるのを確認してください。

 

$A2$ : $(A+B)(A+\overline{B})$

    $  =AA+AB+A\overline{B}+B\overline{B}$ (分配則)

    $  =A+AB+A\overline{B}$  (同一則・相補則)

    $  =A$  (吸収則)

 

 

解けましたか? 物足りない方は、こちらもどうぞ。難易度が上がっています。

 

関連項目

真理値表

論理関数の入出力を表形式で網羅的に表現したものを真理値表と言います。

たとえば、OR演算を真理値表にまとめると下記のようになります。最右列に出力、その左の列には入力値を書きます。

OR演算真理値表

 

真理値表の詳しい見方は

 

真理値表の書き方については、下記をご覧ください。

 

カルノー図

式を簡単化するのに役立つツールとして、カルノー図があります。詳しい使い方などは、カルノー図(Wikipedia)をご覧ください。

 

あまり解説されない、5変数以上のカルノー図の扱い方については下記をご覧ください。一応、4変数のカルノー図の扱い方についても少し触れています。

 

まとめとおすすめ書籍

非常に簡単にではありますが、ブール代数について説明させていただきました。

より詳しく学習するには、書籍でしっかり学習することをお勧めします。

楽しんでブール代数を学びたいなら、”ジョージ少年の不思議な花が咲く庭園”という具体的な題材を用いて面白く解説している下記の書籍がおすすめです。

 

お疲れ様でした。

コメント

  1. Nob より:

    こんにちは、資格試験のため論理式を学んでいます。論理式の簡略化が分からず、貴サイトに辿り着きました。

    基本パターン2の証明で、3行目は理解できるのですが、4行目が理解しかねています。

    3行目:=A・^B + A・B + ^A・B
    4行目:=A・^B + A・B + ^A・B + A・B

    4行目末尾の + A・Bがどのように加わるのかが分かりません。

    お手数ですが、ご教授願います。

    • 運営者 運営者 より:

      当サイトをご覧いただきありがとうございます。回答が遅くなってしまい申し訳ございません💦
      質問についてですが、
      4行目末尾の + A・Bは、既に4行目2つめの項に出ています。そのため、4行目2つめの項 A・B の結果が0,1のどちらであったとしても、OR演算子でつないでいるため、式全体の演算結果は変わりません。演算結果が確実に変わらないため、 + A・B を加えることが出来ます。

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