
・ブール代数計算に慣れたい
・解説付き問題が欲しい
今回の記事では、このような方にとって有用な内容を掲載しています。ブール代数の計算になれて、いい点数取りましょう!
ブール代数の基本公式
基本公式を知らないとどうにもならないので、先に基本公式をすべて掲載しておきます。ポイントは、すべての公式が偶数個存在しますが、それは双対定理によるものだということを理解しておくことです。すると、公式を覚える量は $\dfrac{1}{2}$ で済みます。双対定理についての詳しい解説はこちらをご覧ください。

それでは、公式を全て確認しておいてください。
交換則 | $A+B=B+A$ $A \cdot B = B \cdot A $ |
結合則 | $A+(B+C)=(A+B)+C$ $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$ |
分配則 | $A(B+C)=AB+AC$ $A+BC=(A+B)(A+C)$ |
恒等則 | $A + 1 = 1$ $A \cdot 1 = A$ $A + 0 = A$ $A \cdot 0 = 0$ |
同一則 | $A \cdot A = A$ $A + A = A$ |
補元則 | $A \cdot \overline{A} = 0$ $A + \overline{A} = 1$ |
吸収則 | $A+A \cdot B = A$ $A\cdot (A + B) = A$ |
ド・モルガンの法則 | $\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$ $\overline{A\cdot B}=\overline{A}+ \overline{B}$ |
記号の意味に関しましては、以下をご確認ください。

計算問題5題
ブール代数の計算問題を解くコツの一つは、基本パターンを覚えておくことです。
証明などに関しましては、以下をご覧ください。

ブール代数の計算は慣れです。さっそく解いていきましょう。
問題1:気づけるか・気づけないか
$Q1$ : $(A+BC)(A+CD)(A+B+C)$
ヒント
初手をよく考えよう
$A1$ : $(A+BC)(A+CD)(A+B+C)$
$ =(A+B)(A+C)(A+C)(A+D)(A+B+C)$ (分配則)
$ =(A+B)(A+C)(A+D)$ (同一則・吸収則)
$ =A+BCD$ (分配則の逆)←無くてもOK
問題2:否定の否定+否定の否定
$Q2$ : $\overline{(A+\overline{B})(A+\overline{C})}+\overline{(A+B)(A+\overline{C})}$
ヒント
大きい否定は、いつも先に処理する

$A2$ : $\overline{(A+\overline{B})(A+\overline{C})}+\overline{(A+B)(A+\overline{C})}$
$ =\overline{(A+\overline{B})}+\overline{(A+\overline{C})}+\overline{(A+B)}+\overline{(A+\overline{C})}$ (ド・モルガンの法則)
$ =\overline{A}B+\overline{A}C+\overline{A}\cdot\overline{B}+\overline{A}C$ (ド・モルガンの法則)
$ =\overline{A}+\overline{A}C$ (同一則・基本パターン1)
$ =\overline{A}$ (吸収則)
問題3:単純な問題
$Q3$ : $(\overline{A}B+\overline{B}C)(A\overline{B}+B\overline{C})$
ヒント
迷わず進もう
$A3$ : $(\overline{A}B+\overline{B}C)(A\overline{B}+B\overline{C})$
$ =\overline{A}BA\overline{B}+\overline{B}CA\overline{B}+\overline{A}BB\overline{C}+\overline{B}CB\overline{C}$ (分配則)
$ =\overline{B}CA+\overline{A}B\overline{C}$ (同一則・補元則)
問題4:解けそうで解けない
$Q4$ : $\overline{A}B+AB+A\overline{B}$
ヒント
基本パターンを覚えていますか?
$A4$ : $\overline{A}B+AB+A\overline{B}$
$ =B+A\overline{B}$ (分配則の逆・補元則)
$ =A+B$ (基本パターン2)
問題5:普通に難問
$Q5$ : $\overline{A}B+\overline{A}\cdot\overline{B}+ABC$
ヒント
行き詰ったら補元則の逆を使う

$A5$ : $\overline{A}B+\overline{A}\cdot\overline{C}+ABC$
$ =B(\overline{A}+AC)+\overline{A}\cdot\overline{C}$ (分配則の逆)
$ =B(\overline{A}(C+\overline{C})+AC)+\overline{A}\cdot\overline{C}$ (補元則の逆)
$ =B(\overline{A}\cdot\overline{C}+(A+\overline{A})C)+\overline{A}\cdot\overline{C}$ (分配則・分配則の逆)
$ =(1+B)\overline{A}\cdot\overline{C}+BC$ (補元則・分配則・分配則の逆)
$ =\overline{A}\cdot\overline{C}+BC$ (恒等則)
まとめ
ブール代数の計算は難しいですが、数をこなして慣れていくしかありません。以下の記事にも練習問題が5題ありますので、よければご覧ください。

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