【ブール代数】論理式の計算問題5問【コツ・解説付き】

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・ブール代数計算に慣れたい

・解説付き問題が欲しい

 

今回の記事では、このような方にとって有用な内容を掲載しています。ブール代数の計算になれて、いい点数取りましょう!

ブール代数の基本公式

基本公式を知らないとどうにもならないので、先に基本公式をすべて掲載しておきます。ポイントは、すべての公式が偶数個存在しますが、それは双対定理によるものだということを理解しておくことです。すると、公式を覚える量は $\dfrac{1}{2}$ で済みます。双対定理についての詳しい解説はこちらをご覧ください。

 

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それでは、公式を全て確認しておいてください。

 

交換則 $A+B=B+A$
$A \cdot B = B \cdot A $
結合則 $A+(B+C)=(A+B)+C$
$A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$
分配則 $A(B+C)=AB+AC$
$A+BC=(A+B)(A+C)$
恒等則 $A + 1 = 1$
$A \cdot 1 = A$
$A + 0 = A$
$A \cdot 0 = 0$
同一則 $A \cdot A = A$
$A + A = A$
補元則 $A \cdot \overline{A} = 0$
$A + \overline{A} = 1$
吸収則 $A+A \cdot B = A$
$A\cdot (A + B) = A$
ド・モルガンの法則 $\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$
$\overline{A\cdot B}=\overline{A}+ \overline{B}$

 

記号の意味に関しましては、以下をご確認ください。

 

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計算問題5題

ブール代数の計算問題を解くコツの一つは、基本パターンを覚えておくことです。

 

論理式変形基本パターン

 

証明などに関しましては、以下をご覧ください。

 

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ブール代数の計算は慣れです。さっそく解いていきましょう。

 

問題1:気づけるか・気づけないか

$Q1$ : $(A+BC)(A+CD)(A+B+C)$

 

ヒント

初手をよく考えよう

 

$A1$ : $(A+BC)(A+CD)(A+B+C)$

    $  =(A+B)(A+C)(A+C)(A+D)(A+B+C)$  (分配則)

    $  =(A+B)(A+C)(A+D)$  (同一則・吸収則)

    $  =A+BCD$  (分配則の逆)←無くてもOK

 

問題2:否定の否定+否定の否定

$Q2$ : $\overline{(A+\overline{B})(A+\overline{C})}+\overline{(A+B)(A+\overline{C})}$

 

ヒント

大きい否定は、いつも先に処理する

 

$A2$ : $\overline{(A+\overline{B})(A+\overline{C})}+\overline{(A+B)(A+\overline{C})}$

    $  =\overline{(A+\overline{B})}+\overline{(A+\overline{C})}+\overline{(A+B)}+\overline{(A+\overline{C})}$  (ド・モルガンの法則)

    $  =\overline{A}B+\overline{A}C+\overline{A}\cdot\overline{B}+\overline{A}C$  (ド・モルガンの法則)

    $  =\overline{A}+\overline{A}C$  (同一則・基本パターン1)

    $  =\overline{A}$  (吸収則)

 

問題3:単純な問題

$Q3$ : $(\overline{A}B+\overline{B}C)(A\overline{B}+B\overline{C})$

 

ヒント

迷わず進もう

 

$A3$ : $(\overline{A}B+\overline{B}C)(A\overline{B}+B\overline{C})$

    $  =\overline{A}BA\overline{B}+\overline{B}CA\overline{B}+\overline{A}BB\overline{C}+\overline{B}CB\overline{C}$  (分配則)

    $  =\overline{B}CA+\overline{A}B\overline{C}$  (同一則・補元則)

 

問題4:解けそうで解けない

$Q4$ : $\overline{A}B+AB+A\overline{B}$

 

ヒント

基本パターンを覚えていますか?

 

$A4$ : $\overline{A}B+AB+A\overline{B}$

    $  =B+A\overline{B}$  (分配則の逆・補元則)

    $  =A+B$  (基本パターン2)

 

問題5:普通に難問

$Q5$ : $\overline{A}B+\overline{A}\cdot\overline{B}+ABC$

 

ヒント

行き詰ったら補元則の逆を使う

 

$A5$ : $\overline{A}B+\overline{A}\cdot\overline{C}+ABC$

    $  =B(\overline{A}+AC)+\overline{A}\cdot\overline{C}$  (分配則の逆)

    $  =B(\overline{A}(C+\overline{C})+AC)+\overline{A}\cdot\overline{C}$  (補元則の逆)

    $  =B(\overline{A}\cdot\overline{C}+(A+\overline{A})C)+\overline{A}\cdot\overline{C}$  (分配則・分配則の逆)

    $  =(1+B)\overline{A}\cdot\overline{C}+BC$  (補元則・分配則・分配則の逆)

    $  =\overline{A}\cdot\overline{C}+BC$  (恒等則)

 

まとめ

ブール代数の計算は難しいですが、数をこなして慣れていくしかありません。以下の記事にも練習問題が5題ありますので、よければご覧ください。

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